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\begin{align*} 1 + 2 + ... + n + (n + 1) &= (1 + 2 + ... + n) + (n + 1)\\ &= \frac{n \cdot (n + 1)}{2} + (n+1)\; \; \; \mathrm{by \; p(n)} \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n + 1)}{2}\\ &= \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} \\ &= \frac{(n + 1)((n + 1) + 1)}{2} \end{align*}